Правильно строчными: день рождения.
О празднике, праздновании, памятном дне - мой день рождения. О дате рождения - день моего рождения.
Да, тире уместно:
Ведь этот день, тридцатый день рожденья, –
Особенная дата – юбилей!
Верно: пиратский день рождения.
Правильно: на день рождения.
Правильно: у Даши день рождения.