При слове семья фамилия обычно сохраняет форму единственного числа: семья Палийчук.
Корректно: выиграть в викторине.
Да, запятая поставлена правильно.
Вы написали правильно. Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются, женские несклоняемы.