Если это не имя собственное (не название фильма, например), то никаких оснований для написания с большой буквы нет. Правильно: социальная сеть.

В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой содержится рекомендация ставить иноязычную фамилию в форму единственного числа, если она сопровождается словами супруги, семья. Рекомендаций об употреблении фамилии при слове чета в справочнике нет, но логично предположить, что и в этом случае предпочтительно единственное число.

Корректно написание со строчной буквы.

Такие фразы, конечно, возможны. Вопрос в том, какое реальное содержание скрывается за ними.

Дефисное сочетание не вполне корректно в силу того, что прилагательные локальный и вычислительный не образуют ряд однородных определений. Верно: локальная вычислительная сеть.

Здесь верно: НЕ.

Такое сокращение возможно.