Правильно: Кусто Жак Ив, Кусто Жака Ива; Бельмондо Жан-Поль, Бельмондо Жан-Поля.
Правильно: Николя-Жак Конте.
Правильно: ван Эйк.
Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
Правильно с прописной, кроме последнего примера.
СО РАН (отделение) обязано.
Верно: обменял на что - на евро. Или: обменял одного попугая на другого за евро (доплатив евро).
Склоняется следующим образом: Жан-Клод Ван Дамм, Жан-Клода Ван Дамма и т. д.