Досочка, досточка, дощечка - это маленькая доска.
Кавычки нужны только в том случае, если это выражение употреблено в необычном или ироничном значении.
Правильно: инфекциями, передаваемыми половым путем.
Правильно с запятой: Неясно, что имелось в виду. Лисичка сообщила, что умеет готовить. Запятая ставится в любом случае.