Орфографически правильно: «Мой мир».
Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Верно написание строчными буквами: двукратный чемпион мира.
Правильно: сдам квартиру по адресу улица Мира, дом такой-то; сдам квартиру в доме на улице Мира.
Правильно: чемпионат мира, чемпионат Европы, чемпионаты мира и Европы.
Слово мир пишется со строчной буквы. С прописной буквы пишется имя собственное Мир в составе топонимов (проспект Мира, улица Мира); написание Мир возможно также в том случае, если этому слову по воле автора приписывается особый высокий смысл.