Правильно: рады встрече.
См. ответ № 193278.
Правильно: просить прощения.
Правильно: кто искренне рад.
В значении 'добиваться чего-либо, стараться получить что-либо' предпочительный (хотя и не единственно возможный) вариант: искать чего: ищет защиты.
Правильно: ООО... радо сотрудничеству.
Кавычки во всех названных случаях не требуются.
Возможные варианты: просить кого-либо о помощи, просить кого-либо помочь, просить чьей-либо помощи, просить у кого-либо помощи.