Более точное слово – раковина (оно толкуется как 'вместилище с воронкой, расположенное под водопроводным краном для отвода использованной воды'). Слово мойка имеет более широкое значение – 'место, где моют, промывают что-либо'.
Обращение дети надо выделить запятыми: Ваш папочка, дети, козел.
Лучше: мытье ног.
Запятая не ставится. Фраза требует редакторской правки (оборот "удивленно смотрите на вопрос").
Неприменимо в разных контекстах может писаться как слитно, так и раздельно. В таблицах предпочтительно слитное написание.
Словари фиксируют слово мойка как имеющее формы мн. числа во всех значениях. Однако Ваши сомнения обоснованны: употребление слова мойка в значении мытье во мн. числе уместно не во всех контекстах.
Оба варианта правильны.