В современном русском языке правильная форма: привыкнув.
Правильно: присылать письма нам.
Слово причем не обособляется. Могут выделяться запятыми присоединительные (пояснительные) обороты с этим словом: Появились тучи, причем грозовые.
Запятая не нужна.
Корректен второй вариант.
Возможно: по принципу "кто кого".