Правильно: получила медаль конкурса упаковки (конкурса на лучшую упаковку).
Запятая нужна, она закрывает придаточное предложение.
Нет, кавычки не требуются.
Верно: МезЕнь, мезЕнская.
Нужно склонять без выпадения гласной (если носитель фамилии не возражает).
Части Вашего сложного предложения должны соединяться союзом чтобы.