Века обозначают римскими цифрами. Остальные даты - арабскими. Греческими цифрами мы не пользуемся.
Как условное обозначение исторической эпохи - с прописной буквы: Галантный век.
Действительно, здесь допущена логическая ошибка. Возможно, автор хотел сказать в позапрошлом веке.
Лучше римскими цифрами или словами: люди XXV века, люди двадцать пятого века. Но возможен вариант с буквенным наращением после арабских цифр.
Кавычки не требуются.
Верно написание этих сочетаний строчными буквами.