Это слово по родам не изменяется.
Верно с тире: детский сад — партнер.
Самый первый в мире детский сад был организован в 1837 году немецким педагогом Фридрихом Вильгельмом Августом Фрёбелем, ему же принадлежит и название.
Верно: Ново-Тихвинский.
Правильно: конский след (в знач. "свойственный коню").