Собственные имена стоят в винительном падеже.
В связи с тем что — сложный подчинительный союз. В начале предложения такие союзы обычно не расчленяются.
Оба варианта будут корректными. Если исключить слово сильно, смысл предложения вообще не изменится: Муму очень привязалась к Герасиму.
Постановка тире в обоих случаях не требуется.