Фиксация в академическом орфографическом словаре такова:
шенге́нский (от Шенге́н; шенге́нские соглаше́ния, шенге́нская ви́за), но: Шенге́нская конве́нция, Шенге́нская зо́на, стра́ны Шенге́нской гру́ппы
Читайте об этом в "Письмовнике" (о трудных случаях читайте здесь).
Форма взметнувшеюся имеет устаревший или просторечный характер. Нейтральный вариант: взметнувшейся.
Верно: обретение кем-либо чего-либо.
Пожалуйста, воспользуйтесь "Проверкой слова".
Женская фамилия Гетманец не склоняется, мужская склоняется. Возможно склонение мужской фамилии с выпадением гласного (Гетманца, Гетманцу) и без выпадения гласного (Гетманеца, Гетманецу). Второй вариант предпочтителен.
В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.
См. вопрос 226391.
Ударение на И: яИчники, допустимо произношение [чн] и [шн].
Такое написание неупотребительно.