Верен первый вариант (если имеется в виду, что именно департамент, а не директор осуществляет общее руководство подразделением).
Знаки препинания расставлены верно. Между инициалами нужен пробел.
Согласно орфографическим словарям написано правильно. Однако в официальных документах по традиции слово министр в названии должности пишут с большой буквы.
См. ответ на вопрос № 275447.
Верно: в подчинении кому. Но лучше: подразделение подчинено заместителю директора.
Фонетический принцип действует и здесь: пишем, как слышим.
Да, нужно.