Корректно: чей день рождения и у кого-то день рождения.
Верно: День рыбака (как название профессионального праздника).
Зависит от контекста, но обычно говорят: день рождения Маши и у Маши день рождения.
Возможен второй вариант. Или так: Он дал мне день - всего один день, чтобы...
Правильно строчными: день рождения.
Строчными: день рождения города.
О празднике, праздновании, памятном дне - мой день рождения. О дате рождения - день моего рождения.