См. «Учебник ГРАМОТЫ». Правило касается корней гор-гар со значением, связанным с горением.
В сочетании с географическим термином гора названия женского рода склоняются: на горе Зеленой. Названия мужского рода остаются в начальной форме: у горы Эльбрус.
Верно: Западно-Сахалинский район.
Корректны оба варианта.
Оба варианта корректны, чаще используется форма долгие годы.
Верно: на 2021—2023 годы.
Правильно: на гору, допустимо: на гору.