Лучше: для большой и маленькой кухни.
Вы имеете в виду Всероссийскую олимпиаду школьников? С большой буквы.
Правильный второй вариант.
Нет оснований для написания с прописной (большой) буквы.
Слово Интернет пишется с большой буквы как самостоятельное существительное: сеть Интернет.
В составе сложных слов пишется со строчной: интернет-провайдер.